说明

这是一个完善了但又不完善的笔记,或许以后会更新

可以参考但请务必超越

源文件

Tools


Typora
PicGo

时间复杂度和空间复杂度

这一章其实就很简单,算是中场休息

我们写的代码运行都要时间,当然掐表计算肯定不现实

我们只需要算一个复杂度就可以了,当然代码还要优化

这篇文章虽然大段大段的话挺多,但是完全不用管,了解就行。只要知道怎么算就OK

1.算法效率

算法效率分析分为两种:第一种是时间效率,第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度,而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度,而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间,在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

曾经科技不发达,什么电子产品包含存储运算等,要么是浪费时间来换取空间,要么是浪费空间来换取时间

现在科技进步的太快了,写一点小代码根本谈不上什么效率,普通桌面级主机动不动就已经是8G、16G以上的内存,CPU和GPU的运算速度也究极的快

不过作为程序猿,还是任何行业做什么事情,都应该讲究效率。能做的到的优化还是要尽量去做。如果有很大的项目,一点一点效率的提升,那就是量变引起质变喽

2.时间复杂度

首先,不同的电脑,跑程序的效率都是不一样的

去真实的算一个程序跑起来要几秒几毫秒,都不现实也不靠谱。

现在的科技就算是同款CPU,也有体质好和体质坏的。在几毫秒,几微秒,几纳秒甚至皮秒等更低的单位,或许都能算出差距。

更别说几十年前的电脑了

这样的话就做不到一个标准

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度。

那我们先接着往下看吧

2.2 大O的渐进表示法

void func1(int N){
   int count = 0;
   for (int i = 0; i < N ; i++) {
       for (int j = 0; j < N ; j++) {
           count++;//N*N
       }
   }
   for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
       count++;//2N
   }
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;//10
    }
    System.out.println(count);
}

算一下func1的基本操作执行了几次

F(N)=N²+2*N+10

那么如果N越来越大呢

N=10 - F(N)=130

N=100 - F(N)=10210

N=1000 - F(N)=1002010

可以看到执行的次数越来越多,常量10和2*N的次数就越来越小,不起什么作用了,所以我们可以干脆抹掉零头

N=10 - F(N)=100

N=100 - F(N)=10000

N=1000 - F(N)=1000000

实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里,我们使用大O的渐进表示法。

大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法:

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数(系数)。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:O(N²)

O(N) 好坏情况

做事做好最坏的打算

当然啦,写代码的话,我们一般都会关注算法的最坏运行情况

对于一些算法的时间复杂度

  • 最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
  • 平均情况:任意输入规模的期望运行次数
    一般是根据代码的情况给出平均时间复杂度
  • 最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x(二分查找)

最好情况:1次找到

最坏情况:N次找到

平均情况:N/2次找到

所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

在最坏的情况下就有了讨论的意义

2.3 时间复杂度的计算

根据以上内容,其实就可以明白怎么算了

当然一般也都是循环的情况

这里就简单出点例子,想专门练习更多的可以直接去搜

记住一定要结合思想,不能光看代码

栗子1

// 计算func2的时间复杂度?
void func2(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        count++;//2N
    }
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;//10
    }
    System.out.println(count);
}

2N+10,去除常数10保留最高阶项,再去除系数,func2的时间复杂度就是O(N)

栗子2

// 计算func3的时间复杂度?
void func3(int N, int M) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; k++) {
        count++;//M 
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
        count++;/N
    }
    System.out.println(count);
}

就直接是O(M+N)

栗子3

// 计算func4的时间复杂度?
void func4(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; k++) {
        count++;//100 
    }
    System.out.println(count);
}

100是常数,那就直接用1表示,func4的时间复杂度就是O(1)

栗子4 优化过的冒泡排序

// 计算bubbleSort的时间复杂度?
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--){//N
        boolean sorted = true;//优化
        for (int i = 1; i < end; i++) {//N-1
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
            }
        }
        if (sorted == true) {
            //优化
            break;
        }
    }
}

这个冒泡排序中第一个for循环array.length就是次数N,那么第二个for循环i从1开始,那么end-1就是次数N-1。2个for循环应该相乘那就是N*(N-1)=N²-N,保留最高项那么bubbleSort的时间复杂度就是O(N²)

当然时间复杂度是最坏情况下,不看代码优化。最好情况下的话加上优化应该是O(N)

这个代码如果要平均情况...那就不好说了,一般没有人去讨论,讨论不清楚。到后面排序中会讲到平均情况也是O(N²)

栗子5 二分查找

// 计算binarySearch的时间复杂度?
int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
   }
   return -1; 
}

二分查找就比较有趣了,思考一下元素个数和寻找次数的关系。

当元素个数为2、4、8时,寻找次数应该是2、3、4。

那么我们用n来表示元素个数,用a来表示找的次数,a就是时间复杂度嘛

2^(a-1) = n也就是a = log~2~n +1。去掉常数保留最高阶项,那么binarySearch的时间复杂度就是O(log₂n)。

栗子6 阶乘递归

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度?
long factorial(int N) {
    return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; 
}

递归的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数

看这个递归的例子,是一个三目操作符,那每次递归执行的次数就是1

就很简单

就直接把N带进去,N < 2返回N,那就只能是1呗,递归的次数就是N,最后N为1也算一次递归嘛

N * 1那factorial的时间复杂度就是O(N)

栗子7 斐波那契递归

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度?
int fibonacci(int N) {
    return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

这个递归就较为难一点,当f(1)的时候就直接返回1了嘛。那么f(2)应该是f(1)+f(0)才对,f(0)那就是没有嘛。那问题来了,我们应该算上f(0)吗?

注意,我们时间复杂度计算的应当是最坏情况。那么我们干脆把f(0)也算上。

那从最顶端第一层开始,一直往下分,应当是1次、2次、4次、8次...

把他们加起来,就会形成一个等比数列的相加

2^0^+2^1^+2^2^+2^3^+...+2^n-1^

通过公式求得2^n^+1

那么去除常数保留最高阶项,fibonacci的时间复杂度就是O(2^N^)

3.空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似,也使用大O渐进表示法

搞明白了时间复杂度,那么空间复杂度其实就很简单了

这里我们看一下3个例子就可以搞明白

栗子1 优化过的冒泡排序

// 计算bubbleSort的空间复杂度?
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--){//N
        boolean sorted = true;//优化
        for (int i = 1; i < end; i++) {//N-1
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
            }
        }
        if (sorted == true) {
            //优化
            break;
        }
    }
}

就很简单,随着程序的运行定义的变量没有增加,那就是O(1)

虽然for循环每一次都要定义一个sorted,那也就这么一个,不会增加大小。不能是每次循环都定义一个吧

数组,那都是必要的,没讨论意义。

栗子2 斐波那契递归

// 计算斐波那契递归fibonacci的空间复杂度?
int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; i++) {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray;
}

这,每一次递归都要开辟一个空间存一个n,那就是O(n)

栗子3 阶乘递归

// 计算阶乘递归factorial的空间复杂度?
long factorial(int N) {
    return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; 
}

一样的,调用了N次,开辟了N个栈帧,每个栈帧使用了常数个空间。那就是O(n)

小头图版权:《》by 2021年11月7日下午5点13分 pid:93980571(无题无名无头像拿日榜TOP1这什么大佬厉害哦)

广告位招租
最后修改:2021 年 11 月 09 日 02 : 13 PM
如果觉得我的文章对你有用,请喂饱我!(理直气壮)